Que ce soit pour adapter une recette de cuisine pour 6 personnes au lieu de 4, calculer une réduction lors des soldes ou trouver une vitesse moyenne, la proportionnalité est partout.
Pourtant, dès qu’un problème de ce type apparaît au devoir surveillé, c’est la panique : « Est-ce qu’il faut multiplier ? Diviser ? Quel chiffre va en haut ou en bas ? ».
Pour éviter de mélanger les chiffres au hasard, la méthode D.E.P.S. propose une technique visuelle infaillible : le tableau du produit en croix avec la méthode de l’éclair ⚡.
L’énoncé cible à résoudre
Le problème :
« Pour fabriquer 8 pots de peinture sur mesure, un artisan utilise 12 litres de colorant bleu. Combien de litres de colorant aura-t-il besoin pour fabriquer 14 pots de peinture identiques ? »
Voyons comment résoudre ce problème étape par étape sans hésitation.
Étape 1 : Décoder (Vérifier si c’est de la proportionnalité)
Avant de sauter sur la calculatrice, posons-nous la question clé : « Si je double le nombre de pots, est-ce que je vais doubler la quantité de peinture ? »
La réponse est oui ! Les pots sont identiques. Nous sommes donc face à une situation de proportionnalité.
👉 x = le nombre de litres de colorant pour 14 pots.
Étape 2 : Extraire (Créer le tableau à 4 cases)
Au lieu de laisser les données éparpillées dans le texte, nous allons les classer dans un mini-tableau à 2 lignes et 2 colonnes.
Ligne 1 : Nombre de pots
Ligne 2 : Litres de colorant
Situation
Connue
Recherchée
Nombre de pots
8
14
Colorant (Litres)
12
x
Étape 3 : Planifier (La technique de l’éclair ⚡)
C’est ici que la magie opère. Pour savoir quelle opération faire sans réfléchir pendant des heures, applique la règle des 2 diagonales :
Trouve la diagonale complète (celle où il y a deux nombres en face, pas de « x »). Ici, la diagonale complète réunit le 12 et le 14.
Multiplie les deux nombres de cette diagonale : (14 x 12).
Divise le résultat par le nombre restant tout seul (le 8).
La formule visuelle :
Étape 4 : Solutionner (Le calcul et la vérification)
Posons l’opération clairement :
On multiplie la diagonale : 14 x 12 = 168
On divise par le dernier nombre : 168 / 8 = 21
Le test de cohérence
Est-ce que 21 litres semble logique ?
8 pots demandent 12 litres (un peu plus de 1 litre par pot).
14 pots, c’est presque le double de 8 pots.
Notre résultat (21 litres) est bien un peu inférieur au double de 12 (qui serait 24). C’est parfaitement cohérent !
La phrase réponse : L’artisan aura besoin de 21 litres de colorant pour fabriquer 14 pots.
Ce qu’il faut retenir
Pour réussir à coup sûr un produit en croix :
Trace toujours un petit tableau avec 4 cases.
Repère la diagonale avec deux chiffres et multiplie-les.
Divise par le chiffre isolé.
📝 À vous de jouer ! (Exercice d’application)
Voici un problème classique pour vous entraîner :
« Un véhicule consomme 6 litres d’essence pour parcourir 100 km. Combien de litres consommera-t-il pour effectuer un trajet de 250 km ?
💡 Correction de l’exercice d’application : La consommation d’essence
C’est un grand classique des devoirs de CM1 ou CM2. L’énoncé commence de manière innocente : « Paul a trois fois plus de billes que Sarah… ».
Face à ce type de problème, le comportement de l’élève est presque toujours le même. Il prend les chiffres de l’énoncé, les additionne ou les multiplie au hasard en espérant tomber sur la bonne réponse. S’il n’y arrive pas, il s’énerve et tente de deviner la solution dans sa tête.
Pourquoi l’élève agit-il ainsi ? Parce qu’il essaie de faire de l’algèbre de collège dans sa tête sans en avoir encore les outils.
Pour aider votre enfant à structurer sa pensée et à trouver la solution de manière 100% logique (et sans aucune formule magique), il suffit d’appliquer la méthode D.E.P.S. en insistant sur l’étape magique du primaire : le schéma en barres.
L’énoncé cible à résoudre
Le problème :
« Dans un jeu vidéo, Max, Léa et Hugo ont récolté un total de 45 pièces d’or. Léa a récolté 3 fois plus de pièces que Max. Hugo, lui, a pris 5 pièces de moins que Léa. Combien de pièces d’or possède Max ? »
Voyons comment transformer ce texte confus en un dessin ultra-simple grâce à nos 4 étapes.
🕵️♂️ Étape 1 : Décoder (Repérer le point de départ)
La première règle pour résoudre un problème de partage au primaire est de trouver la personne de référence, c’est-à-dire celle dont tout le monde dépend.
Léa dépend de Max (3 fois plus).
Hugo dépend de Léa (5 de moins).
Le point de départ de tout notre problème, c’est donc Max. C’est lui notre unité de base.
✂️ Étape 2 : Extraire (Le tri des mots magiques)
On prend nos surligneurs pour capturer les expressions mathématiques cachées derrière les phrases en français :
Le total général : 45 pièces
Léa : 3 fois plus que Max
Hugo : 5 pièces de moins que Léa
📐 Étape 3 : Planifier (Dessiner les boîtes)
C’est ici que la méthode D.E.P.S. libère tout le super-pouvoir du primaire. Puisque le cerveau d’un enfant a besoin de concret, nous allons dessiner des boîtes ou des rectangles pour chaque personnage.
Dessinons la part de Max : Comme c’est notre base, on lui dessine une boîte simple.[ Max ] = 🟩
Dessinons la part de Léa : Elle a 3 fois plus que Max. On lui dessine donc 3 boîtes identiques à celle de Max.[ Léa ] = 🟩 🟩 🟩
Dessinons la part d’Hugo : Il a la même chose que Léa, mais avec 5 pièces en moins.[ Hugo ] = 🟩 🟩 🟩 (moins 5)
Regardons maintenant le dessin global de toutes nos boîtes réunies. Au total, nous avons :
Et nous savons que toutes ces boîtes ensemble, moins les 5 pièces manquantes d’Hugo, doivent être égales à 45 pièces.
✍️ Étape 4 : Solutionner (Le calcul visuel)
Grâce au dessin de l’étape 3, l’enfant comprend instantanément la logique du calcul :
On annule le « moins 5 » : Si Hugo n’avait pas eu 5 pièces en moins, le total complet pour les 7 boîtes parfaites serait de 45 + 5 = 50 pièces.
Attendez ! Reprenons notre énigme fil rouge originale : (Ajustons notre calcul pour notre exemple exact : Sophie, Chloé et Tom avaient des valeurs fixes. Dans notre cas précis avec 45 pièces, modifions légèrement la logique visuelle pour qu’elle s’organise parfaitement) :
Si l’on rassemble les parts : Max a 1 part. Léa a 3 parts. Hugo a 3 parts moins 5.
Total des parts : 1 + 3 + 3 = 7 parts.
Donc 7 parts – 5 = 45 pièces.
Cela veut dire que 7 parts = 45 + 5 = 50 pièces (Si l’on veut un nombre entier parfait pour le primaire, on s’aperçoit que 50/7 ne tombe pas juste ! C’est le moment idéal pour montrer l’importance du test de cohérence).
💡 Bon a savoir: Pour que l’exercice tombe sur un chiffre rond et parfait pour un enfant de primaire, modifions le total de l’énoncé à 51 pièces au total !
7 parts – 5 = 51
7 parts = 51 + 5 = 56 pièces.
Maintenant, le calcul de la boîte devient magique : 56/7 = 8 !
La valeur d’une seule boîte (Max) :8 pièces.
La part de Léa (3 boîtes) : 8 x3 = 24 pièces.
La part d’Hugo (Léa moins 5) : 24 – 5 = 19 pièces.
Le test de cohérence :
Vérifions le total : 8 (Max) + 24 (Léa) + 19 (Hugo) = 51 pièces. Le compte est absolument parfait !
La phrase réponse : Max possède exactement 8 pièces d’or.
Ce qu’il faut retenir
N’ayez plus peur des problèmes de partages. En forçant votre enfant à dessiner des briques de taille égale pour représenter les parts, la division finale devient une évidence visuelle. Les chiffres s’organisent d’eux-mêmes !
📝 À vous de jouer ! (Exercice d’application)
Voici une petite énigme pour tester la méthode ce soir :
« Un grand-père partage 30 bonbons entre ses deux petits-enfants, Jules et Manon. Il donne deux fois plus de bonbons à Manon qu’à Jules. Combien de bonbons aura Jules ? »
(Astuce : Dessinez 1 boîte pour Jules et 2 boîtes pour Manon !)
C’est le grand tournant des mathématiques au collège. Un jour, les nombres ne sont plus seuls : une mystérieuse lettre fait son entrée dans les énoncés. La fameuse lettre « y ».
Pour beaucoup d’élèves, c’est le début du décrochage. Pourtant, si on leur donne une équation toute faite comme 3y + 5 = 20, ils arrivent souvent à la résoudre en appliquant les règles apprises en classe. Alors, où se situe le problème ?
Le vrai blocage se trouve dans l’étape de transition. Face à un problème textuel (type sujet de Brevet), l’élève ne sait pas comment transformer des phrases en français en une égalité mathématique avec des « y ».
Bonne nouvelle : ce n’est pas un problème de don pour les maths, c’est un problème de traduction. Pour y arriver sans paniquer, nous allons appliquer notre méthode D.E.P.S. à travers un grand classique des énigmes de collège.
L’énoncé cible à décoder
Le problème :
« Trois frères, Antoine, Thomas et Enzo, se partagent une somme de 80 €. Thomas reçoit 7 € de plus qu’Antoine. Enzo reçoit le double d’Antoine. Combien d’argent reçoit Antoine ? »
À première vue, l’énoncé donne le tournis. On a envie de deviner au hasard. Voyons comment la méthode D.E.P.S. permet de démêler tout ça proprement.
🕵️♂️ Étape 1 : Décoder (Trouver le mystère)
La toute première règle face à une équation est de savoir qui se cache derrière la lettre « y ». En mathématiques, « y » représente l’inconnue, c’est-à-dire la valeur que l’on cherche.
L’astuce de détective : Regardez toujours la question à la fin du problème. Elle vous indique presque toujours ce que doit être votre y.
Application : La question est « Combien d’argent reçoit Antoine ? ». Nous allons donc poser notre point de départ :👉 y = la part d’Antoine
✂️ Étape 2 : Extraire (Le dictionnaire de traduction)
Maintenant que nous connaissons y (Antoine), nous allons relire l’énoncé pour traduire la part des deux autres frères uniquement en fonction de y. C’est comme traduire du français vers l’anglais.
La part d’Antoine : C’est notre base, donc c’est y.
La part de Thomas : L’énoncé dit « 7 € de plus qu’Antoine ». En langage mathématique, « de plus que » se traduit par une addition (+).👉 La part de Thomas est donc : y + 7
La part d’Enzo : L’énoncé dit « le double d’Antoine ». Le double se traduit par une multiplication par 2.👉 La part d’Enzo est donc : 2 x y(que l’on écrit 2y)
📐 Étape 3 : Planifier (Construire l’équation)
Nous avons nos trois morceaux. Comment les assembler pour former notre équation finale ? On cherche l’information globale de l’énoncé. Ici, on sait que la somme totale partagée est de 80 €.
Cela signifie que :
Part d'Antoine + Part de Thomas + Part d'Enzo = 80 €
Remplaçons maintenant les mots par nos traductions mathématiques de l’étape 2 :
👉 y + (y + 7) + 2y = 80
Voilà ! L’équation est posée. Le travail de réflexion le plus dur est terminé.
✍️ Étape 4 : Solutionner (Le calcul et la vérification)
Il ne reste plus qu’à résoudre l’équation en regroupant les familles (les y ensemble et les nombres ensemble).
On rassemble les y : On a un y, plus un autre y, plus deux y. Au total, cela fait quatre y. 4y + 7 = 80
On isole le groupe des y : Pour enlever le +7 à gauche, on fait -7 à droite. 4y = 80 – 7 = 73
On trouve la valeur d’un seul y : y = 73/4 ==> y = 18,25
La vérification de cohérence (Crucial !)
Est-ce que notre résultat a du sens ? Remplaçons y par 18,25 pour vérifier la part de chaque frère :
Antoine reçoit : 18,25 €
Thomas reçoit (18,25 + 7) : 25,25 €
Enzo reçoit (18,25 x 2) : 36,50 €
Faisons le total : 18,25 + 25,25 + 36,50 = 80€. Le compte est bon, notre calcul est parfaitement juste !
La phrase réponse : Antoine reçoit exactement 18,25 €.
Ce qu’il faut retenir pour le prochain devoir
La prochaine fois que votre enfant se retrouve face à un problème avec des inconnues, rappelez-lui ce tableau de traduction indispensable à garder en tête :
En français dans le texte
En langage mathématique
« Le double de… »
2 x y
« Le triple de… »
3 x y
« De plus que… »
+ …
« De moins que… »
– …
« La somme », « Au total »
=
En suivant la méthode D.E.P.S., poser une équation devient un simple jeu de construction.
📝 À vous de jouer ! (Exercice d’application)
Voici une énigme similaire pour vous entraîner à la maison :
« Un père de 40 ans a un fils de 12 ans. Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il le double de l’âge de son fils ? »
(Astuce : Votre inconnue y est le nombre d’années qu’on cherche !)
C’est une scène que tous les parents et tous les élèves connaissent par cœur.
Votre enfant s’installe à son bureau, ouvre son cahier de mathématiques et commence à lire l’énoncé du problème. Au bout de trois lignes, ses yeux se figent. Le stress monte. Il referme son cahier (ou soupire bruyamment) en prononçant cette phrase définitive : « De toute façon, je ne comprends rien aux maths, je n’y arriverai jamais. »
Pourtant, si vous lui demandez de faire une simple addition ou une multiplication isolée, il y arrive très bien. Alors, où se situe le vrai blocage ?
Le secret, le voici : le problème de votre enfant n’est pas son niveau en calcul. Son vrai problème, c’est la traduction. Un énoncé de maths, c’est une histoire écrite en français qu’il faut réussir à traduire en langage mathématique. Et face à un texte plein de pièges, le cerveau des élèves a tendance à paniquer ou à foncer tête baissée dans de mauvais calculs.
Pour redonner confiance à votre enfant et transformer chaque énoncé complexe en une énigme logique et stimulante, j’ai mis au point une démarche simple, visuelle et mémorisable du primaire au secondaire : la méthode D.E.P.S.
En 4 étapes seulement, elle apprend à votre enfant à enfiler le costume de détective pour décoder n’importe quel problème sans jamais plus paniquer devant une feuille blanche. Voyons ensemble comment elle fonctionne à travers un exemple très concret.
soit l’énoncé suivant: « Pour son anniversaire en juillet, Lucas (12 ans) reçoit un nouvel ordinateur portable noir. Ses parents décident de lui prendre un abonnement à un logiciel éducatif qui coûte 9 € par mois. Le premier mois est gratuit. Combien ses parents auront-ils payé au total à la fin de la première année ? »
Étape 1 : Décoder
On commence par lire l’énoncé deux fois, comme un détective. La mission ici est de repérer la question cachée.
Ce qu’on cherche : Le prix total payé à la fin de la première année.
Le mot-clé à décoder : « La première année ». Un élève distrait passe vite dessus. Il faut écrire noir sur blanc : 1 an = 12 mois.
✂️ Étape 2 : Extraire (Le grand nettoyage)
C’est ici qu’on élimine le « bruit » pour ne pas surcharger le cerveau. On prend deux surligneurs.
Ce qui ne sert à rien (à rayer) : ~~Pour son anniversaire en juillet~~, Lucas ~~(12 ans)~~ reçoit un ~~nouvel~~ ordinateur portable ~~noir~~.
Les indices précieux (à surligner) :
Prix : 9 € par mois
Condition : Le premier mois est gratuit
Durée : À la fin de la première année (12 mois)
📐 Étape 3 : Planifier (Passer au visuel)
Au lieu de foncer tête baissée dans les calculs, on fait un dessin. Pour le temps, rien ne vaut une ligne du temps ou un tableau de 12 cases (une case par mois) :
mois
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1o
11
12
prix
0€
9€
9€
9€
9€
9€
9€
9€
9€
9€
9€
9€
En regardant le dessin, le piège saute aux yeux : il n’y a pas 12 mois payants, mais 11 mois payants (12 mois moins le mois gratuit).
✍️ Étape 4 : Solutionner
Le dessin a fait 80% du travail. Il ne reste plus qu’à poser l’opération finale :
$$11 \times 9 = 99$$
Le test de cohérence : Si j’avais fait $12 \times 9 = 108\text{ }€$, mon résultat aurait été faux car je n’aurais pas compté le cadeau du premier mois gratuit. Le résultat de 99 € est bien inférieur, c’est logique.
La phrase réponse : À la fin de la première année, ses parents auront payé au total 99 €.
